Senovės Egipto matematika

Tema	Matematika
Tipas	Referatas
Aprašymas	Senovės egiptiečiai buvo pirmoji civilizacija naudojusi mokslą kasdieniniame gyvenime. Egiptiečiai buvo pažengę medicinoje ir matematikoje.Yra daug papirusų aprašančių jų pasiekimus medicinoje, bet nėra ne vieno pasakojančio, kaip jie šitiek pasiekė matematikoje. Žinoma, jie turėjo puikiai suprasti matematiką, nes kitaip nebūtų įmanomi jų pasiekimai inžinerijoje ir astronomijoje.
Patalpinta	2005-05-09
Parsisiuntė	2502
	Parsisiųsti71 KB

Išsamus aprašymas

Pirma senovės egiptiečių naudota skaičiavimo sistema buvo dvyliktainė. Todėl jie dieną ir naktį padalino po dvylika valandų. Kadangi dienos ilgumas keičiasi, jie kiekvienam sezonui nustatydavo dienos ir nakties valandų ilgius. Dvidešimt keturios valandos paroje išliko ir iki mūsų dienų.
Laiką egiptiečiai matuodavo laikrodžiais, nors jie visiškai nebuvo panašūs į tuos, kuriuos naudojame dabar. Pavyzdžiui, vandens laikrodis, arba Clepsydra, buvo paprasčiausias vandens bakas su anga viršuje, per kuria vanduo išbėgdavo. Laiko vienetai buvo sužymėti ant bako šono.
Priedo egiptiečiai naudojo ir dešimtainę skaičiavimo sistemą, šiek tiek kitokią, nei mūsų laikais. Jie turėjo septynis skirtingus skaičių simbolius.
1 - vienas pagaliukas.
10 - galvijų pančiai.
100 - suvyniota virvė.
1,000 - lotosas.
10,000 - pirštas.
100,000 - buožgalvis arba varlė.
1,000,000 dievo figūra iškeltomis į viršų rankomis.
Teiginį, kad trapecijos vidurinė linija lygi jos pagrindų sumos pusei, jau žinojo senovės egiptiečiai. Jis randamas Ahmeso papiruse ir Aukštutiniame Egipte ant Edfo šventyklos sienų esančiose inskripcijose (II a. p. m. e.)

Prieš 4000 metų senovės egiptiečiai stačiakampio, trikampio ir trapecijos plotams matuoti taikė beveik tuos pačius metodus kaip ir mes: trikampio pagrindą dalijo pusiau ir daugino iš aukštinės; trapecijos lygiagrečių kraštinių sumą dalijo pusiau ir daugino iš aukštinės. Skaičiuodami keturkampio, kurio aukštinės a, b, c, d, plotą S, vartojo formulę S = a+c/2 * b+d/2, t.y. daugino priešingų kraštinių sumos puses. Ši formulė tinka tik stačiakampiui. Ja remiantis, galima apytiksliai apskaičiuoti plotus keturkampių, kurių kampai beveik statūs.
Norėdami apskaičiuoti lygiašonio trikampio ABC plotą S, kai AB = AC, egiptiečiai taikė apytiksliai formulę: S = BC*AB/2.
Šiuo atveju gaunama paklaida yra tuo mažesnė, kuo mažesnis trikampio kraštinės AB ir aukštinės AD skirtumas, t.y. kuo viršūnė B (ir C) yra arčiau aukštinės, nubrėžtos iš viršūnės A pagrindo D. Štai kodėl apytikslė formulė tinka tik trikampiams, kurių kampas prie viršūnės palyginti mažas.
Senovės egiptiečiai naudojo trupmenas su vardikliu vienas pvz. 1/4, 1/7, 1/15. Kitokių trupmenų jie neturėjo. Išimtis - 2/3. Kitas trupmenas užrašydavo sudėtimi pvz. 4/7 = 1/2 + 1/14.
Rašydami trupmenas senovės egiptiečiai prieš vardiklį parašydavo raidės "r" hieroglifą, kuris reiškia "dalis" :
Papildydami savo skaičių sistemą, senovės egiptiečiai sukūrė ilgio matavimo sistemą. Visi matai buvo paremti žmogaus kūno dalių ilgiais. Pavyzdžiui, pagrindinis ilgio matavimo vienetas uolektis yra atstumas nuo alkūnės iki ištiesto viduriniojo piršto galo. Tačiau atsirado problema - visų kūnai skirtingi. Pavyzdžiui, jei du darbininkai statytų piramidę ir kiekvieno akmens luito ilgis turėtų būti virna uolektis, abu darbininkai naudotų skirtingo ilgio luitus. Kad išspręstų šią problema, egiptiečiai padarė kiekvieno mato standartinio ilgio lazdeles, labai panašias į mūsų naudojamas liniuotes. Jie paliko kai kuriuos matų pavadinimus: uolektis, delnas (1/7 uolekties), ir pirštas (1/4 delno, 1/28 uolekties). Su šiais matavimų standartais jie neturėjo jokių problemų.



Kalendorius

Senovės egiptiečių kalendorius buvo pirmasis kuriame metai turėjo 365 dienas. Metai buvo padalinti į 360 normalių ir 5 šventas dienas. 360 paprastų dienų buvo padalinta į tris sezonus - Akhet, Shomu, ir Proyet. Kiekvienas mėnuo turėjo tris savaites. Kiekviena savaitė turėjo po dešimt dienų. Senovės egiptiečių kalendorius labai panašus į kalendorių, kurį mes naudojame šiandien.



Mokesčiai

Senovės Egipte vieno asmens mokami mokesčiai priklausė nuo jo turėto turto. Buvo labai lengva apskaičiuoti bet kokio kvadrato ir stačiakampio formos sklypo plotą padauginant ilgį iš pločio. Tačiau dauguma sklypų buvo ne keturkampiai, o daugiakampiai. Taigi, egiptiečiai turėjo padalinti sklypą į atskiras dalis, kurių plotą galėjo apskaičiuoti. Pirmiausia jie atrado būdą apskaičiuoti taisyklingo trikampio plotui - (ilgis x plotis)/2. Tada jie suprato, kad kiekvienas daugiakampis gali būti padalytas į trikampius, o kiekvienas trikampis į du taisyklingus trikampius. Jie apskaičiuodavo kiekvieno taisyklingo trikampio plotą ir juos sudėdavo. Ši technika naudojama ir šiandien. Ji veikia su bet kokiu daugiakampiu, bet ne skrituliu. Tada Ahmes, žymus Egipto raštininkas, kuris parašė ir Rhind papirusą, sugalvojo p, arba pi. Pi yra apskritimo skersmens ir perimetro santykis ir taip pat gali būti naudojamas skritulio plotui apskaičiuoti (pi x r^2= skritulio plotas). Šiais būdais egiptiečiai visada galėjo išmatuoti bet kokio sklypo plotą.

Piramidės

Terminas „piramidė“ skolintas iš graikų kalbos žodžio „pyramis“ arba „pyramidos“, Graikai savo ruožtu šį žodį pasiskolino iš egiptiečių kalbos. Ahmeso papiruse žodis „pyramus“ vartojamas taisyklingosios piramidės briaunos prasme. Kiti teigia, kad šio žodžio kilmė susijusi su senovės Graikijos duonelių forma (pyros – „rugiai“). Kadangi kartais liepsnos forma primena piramidę, kai kurie viduramžių mokslininkai galvojo, kad terminas kilęs iš graikų kalbos žodžio „pyr“ – ugnis. Todėl kai kuriuose XVI a. geometrijos vadovėliuose piramidė vadinama „ugnies formos kūnu“.
Senovės Egipte faraonų mauzoliejai buvo piramidžių formos. Iki šiol nežinome tikslios jų statybos datos. Žinoma tik tiek, jog piramidės atsirado maždaug trečiojo tūkstantmečio iki Kristaus viduryje, vadinamosios senosios Egipto karalystės laikotarpiu. To laikotarpio chronologiją egiptologai atkūrė naudodamiesi išlikusiais faraonų sąrašais ir jų valdymo trukmėmis. Bet tų sąrašų yra nedaug, jie nepilni, taigi datose be abejo yra nemažai netikslumų.
Ir tai nėra vienintelė piramidžių paslaptis. Dar XIX a. pastebėta, kad Cheopso piramidės kraštai beveik tiksliai rodo į šiaurę. Nukrypimas neviršija trijų kampinių minučių - tai atitinka apie vieną dešimtąją Mėnulio pilnaties skersmens. Tokį tikslumą danų astronomas Tycho Brahė, gyvenęs XVI a. sugebėjo pasiekti tik po kelių tūkstantmečių.
Kaip egiptiečiai sugebėjo tą padaryti? Jokių ypatingų astronomijos žinių jie neturėjo - jie netgi nesugebėdavo numatyti užtemimų, nors žinojo planetas nuo Merkurijaus iki Jupiterio. Galbūt šią paslaptį paaiškins naujas Kate Spence iš Kembridžo universiteto (Anglija) atradimas. Tirdama aštuonių Gizos piramidžių padėtį pasaulio šalių atžvilgiu ji pastebėjo keistą dėsningumą. Piramidžių statytojai garantuotai stengėsi kuo tiksliau suorientuoti savo statinius. Bet jiems nepavykdavo išvengti nedidelių paklaidų. Tame nėra nieko keisto. Bet keista tai, jog tos paklaidos, tai yra nukrypimai nuo šiaurės krypties, nėra nei vienodos, nei atsitiktinės.
Tobuliausiai yra suorientuota Cheopso piramidė. Vėliau statytos piramidės kiek labiau nukrypsta nuo šiaurės krypties - tuo labiau, kuo vėliau jos buvo statytos. Atrodytų, jog vėliau statytos piramidės turėtų būti orientuotos taip pat tiksliai ar netgi tiksliau, nei anksčiau statytosios. Bet Kate Spence nustatė, kad kuo vėliau statyta piramidė, tuo didesnis nukrypimas.
Spence padarė išvadą, kad egiptiečiai vadovavosi kokių nors žvaigždžių padėtimi. Yra žinoma, kad Šiaurės ašigalis keičia savo padėtį žvaigždžių atžvilgiu dėl Žemės ašies precesijos (kaip keičiasi besisukančio vilkelio sukimosi ašies padėtis). Jo padėtis labai lėtai nubrėžia danguje ratą. Vienas toks apsisukimas trunka 26 tūkst. metų. Jeigu egiptiečiai pradžioje orientavosi į kokias nors žvaigždes, tai laikui bėgant ši procedūra turėjo sąlygoti vis didesnį nukrypimą nuo šiaurės krypties.

Jų procedūra turėjo būti pati tiksliausia Cheopso valdymo laikotarpiu, nes toji piramidė yra pastatyta tiksliausiai. Spence pasižiūrėjo, kaip atrodė dangus 3 tūkst. pr.Kr. viduryje ir nustatė, jog tiksliai 2467 m. pr. Kr. Šiaurės kryptį žymėjo statmuo, išvestas per dvi ryškias žvaigždes - Kochabą ir Mizarą iš mažųjų ir Didžiųjų Grįžulo ratų žvaigždynų. Ir prieš, ir po to, tas statmuo vis labiau skyrėsi nuo teisingos krypties.
Naudodamasi 2467 m. pr. Kr. kaip atramos tašku, Kate Spence sugebėjo nustatyti visų piramidžių statybos pradžios datas negirdėtu 5 metų tikslumu.Pavyzdžiui, ji suskaičiavo, kad Cheopso piramidė pradėta statyti 2480 m. pr. Kr.


Cheopso piramidė


Gan sudėtinga geometrinė forma slepia painią vidinių praėjimų, kambarių, oro šachtų sistemą ir daugelį kitų ypatybių, kurių neturi jokia kita pasaulio piramidė. Didžioji piramidė pastatyta iš 2,3 mln. kruopščiai aptašytų akmens luitų, kurių kiekvienas sveria ne mažiau, kaip dvi tonas, o kai kurie luitai net iki 70t. Vien pleištais ir kūjais luitai buvo iškertami kitapus Nilo esančiose Mokatamo skaldyklose. Į uolose išgręžtas angas darbininkai sukaldavo baslius ir tol juos laistydavo vandeniu, kol šie išbrinkdavo ir uoliena aplink juos imdavo eižėti. Luitai būdavo vietoje apdailinami, papirusiniais lynais, rogėmis ir volais atvelkami iki vandens, parplukdomi, atitempiami į statybos aikštelę ir kartu su piramide augusios kalvos šlaitu užtempiami į viršų. Stebina statybos tikslumas. Piramidės pagrindas beveik tikslus 55 cm. aukščio kvadratas, kraštinių ilgiai skiriasi tik 20 cm. Visi kampai beveik tiksliai po 90 laipsnių, o piramidės įžambinės suorientuotos pasaulio šalių atžvilgiu. Jos aukštis 137m., (anksčiau buvo apie 147m., tačiau viršūnė nugriuvo), pagrindo plotis daugiau kaip 230m., piramidė užima 54 300 kvadratinių metrų plotą.












Kaip senovės egiptiečiai parinko hieroglifus pagrindiniams skaičiams,- vienetui, dešimčiai, šimtui ir t.t.,- pažymėti? Nemanykite, kad jie dėl to labai suko galvas. Įsivaizduokime žmogų, kuriam reikia surasti vieneto ženklą. Jis prisimins, pavyzdžiui, posakį „vienas kaip pirštas“ ir jau žinos, kaip išreikšti vienetą. Apskirtai, visa pirmykščio žmogaus kalba ir susidėjo iš tokių palyginimų. Nežinodamas žodžio „tvirtas“, pirmykštis žmogus jį pakeisdavo posakiu „kaip akmuo“. Tai visai natūralus sąvokų plėtros etapas,- abstrakčiai sąvokai charakterizuoti paimama viena, konkreti jos reikšmė. Mat kalbotyroje yra kaip ir dėsnis, jog iš konkretesnės reikšmės atsiranda abstraktesnė. Todėl nesuklysiu pasakęs, kad pirmykščio žmogaus kalba priminė poeto metaforas. Ir net vėliau jis jų neatsisakė. Veiksmams su nedideliais skaičiais atlikinėti jam galbūt poetinių palyginimų ir neprireikdavo. Tačiau norėdamas apibūdinti didelius skaičius, kaip, pavyzdžiui, tūkstantis, dešimt tūkstančių ir pan., be palyginimų neišsiversdavo. Štai pavasarį daugybė lotoso žiedų padengia vandenį. Tad kodėl „tūkstančio“ negalima palyginti su šia lotoso žiedų aibe. Iš pradžių kaip neapibrėžto skaičiaus senasis sintaksinis ženklas jis reiškė ne ką kitą, kaip „labai daug“. Kaip neprisiminsi čia pagalbinių etaloninių aibių, kurios buvo naudojamos skaičiams apibūdinti. Šiuo atveju pagalbine etalonine aibe apibrėžiamas didelis skaičius,- taigi šio skaičiaus ženklu tampa tos aibės simbolis. Analogiškai atsirado ir kitų didelių skaičių simboliai. Antai Nilo upės dumblynuose knibžda nesuskaičiuojama gausybė buožgalvių. Tegul „šimtas tūkstančių“ ir atitinka buožgalvį (juk buožgalvių yra nepalyginamai daugiau negu lotoso žiedų). Panašiai buvo sugalvotas ir „milijono“ simbolis. Nerasdami aplink save jį atitinkančios aibės, senovės egiptiečiai milijoną įsivaizdavo kaip tokią kiekybę, prieš kurią paprastas mirtingasis, apstulbintas jos didybės, klaupėsi ir iš nuostabos kėlė aukštyn rankas.
Ilgainiui senovės egiptiečių raštas supaprastėjo, vietoj hieroglifų įsigalėjo hieratinis, o vėliau ir dar paprastesnis – demotinis raštas. Hieroglifai liko įamžinti tik šventyklų sienose. Štai kodėl senovės graikai, negalėdami perprasti jų reikšmės, pavadino juos „šventaisiais rašmenimis“ (gr. Hieros – šventas, glyphe – raižinys). Senovės Egipte, kaip ir kitur, pamažu įsigali fonetinis raštas. Mat kažkoks nežinomas genijus pastebėjo, kad žodžiui užrašyti atskiras ženklas nebūtinas. Galima atitinkamais simboliais pažymėti arba atskirus skaitmenis (kaip tai daroma Japonijoje), arba atskirus garsus. Šis paprastesnis ir kur kas patogesnis raštas paplito beveik visame pasaulyje (išimtis yra gal tik Kinija). Kaip tik tada ir imta skaičius ir skaitvardžius žymėti skirtingai. Žvelgdamas į skaičių reiškiantį senovės egiptiečių hieroglifą, neatskirsi, ar tai skaičius, ar skaitvardis. Tuo tarpu mes skaitvardį rašome į prastomis abėcėlės raidėmis, o skaičių (t.y. visą sąvoką) – tam tikru simboliu. Kitaip sakant, mūsų dabartiniai skaitmenys (kaip ir kitados vartotų skaičiavimo sistemų skaičių ženklai) iš esmės yra ne kas kita, kaip hieroglifai.

Raktiniai žodžiai

• senoves egiptas
• lygiasonio trikampio ploto formule
• egipto matematika