Matematinė logika

Tema	Matematika
Tipas	Konspektas
Aprašymas	Buvo manoma, kad visi ilgiai ir pločiai gali būti bendramačiai.Va.pr.Kr. atrasta, kad kvadrato įstrižainė neturi bendro mato su kraštine. Nebendramačiai dydžiai: apskritimo l ir d, kvadrato ir apskritimo, apie jį apibrėžto, plotai. Krizių pabaiga – 370 m.pr.Kr. Tai siejama su Eudoksu (graikas).
Patalpinta	2005-05-09
Parsisiuntė	1290
	Parsisiųsti42 KB

Išsamus aprašymas

Sukurti nauji skaičiai – iracionalūs (proto nesuvokiami). Antroji krizė – matematinės analizės. XVIIa.pab. Niutono ir Leibnico mokiniai mažai rūpinosi analizės pagrindais. Rezultatai rėmėsi neaiškiu be galo mažų dydžių aiškinimu. Krizė kilo dėl šios sąvokos neaiškumo. Be galo mažas dydis buvo prilyginamas 0 ir jis buvo atmetamas. Kitais kartais reikšmė * 0. XIXa. Atsisakyta tos teorijos. Koši pakeitė griežta ribų teorija. Antros krizės pabaiga siejama su šia teorija. Xxa. grįžtame prie labai mažų dydžių sąvokos patikslinimo. 1960 m. Robinsonas pasiūlė kaip pagrįsti XVII – XVIIIa. Analizę. Pasiūlyta į be galo mažus dydžius žiūrėti kaip į pastovius. Taip kūrėsi matematinė analizė. Robinsonas įvedė be galo mažų ir didelių skaičių sąvokas. Kuriasi kitokia matematinė analizė – nestandartinė analizė. Trečioji krizė prasidėjo 1897 m., kai pasirodė C. Burali – Forti darbai. Atrasti aibių teorijos prieštaravimai. PVZ.: 1.Tarkim, kad kirpėjas skuta visus, kurie patys nesiskuta. Ar kirpėjas pats skutasi? Tarkim, kad jis nusiskuta. Gaunam prieštaravimą, nes jis yra to kaimo gyventojas. Tarkim, kad jis nesiskuta, bet pagal apibrėžimą jis privalo skustis. 2. Vienas sako: “Viską, ką aš kalbu – melas”. Tai melas ir šis jo posakis. O tai reiškia, kad ne viskas, ką jis pasako yra melas. Bet tai irgi prieštaravimas.
Tiksliosios matematikos paradoksai: tarkim x bet kuri aibė. Tai aibę A apibrėžiame taip: x priklauso A, tada ir tik tada, kai x nepriklauso x. Tuo atveju, kai x sutampa su A gaunam prieštaravimą.
Kadangi aibių teorijoje buvo aptikta paradoksų, tai reiškia yra ne viskas gerai. Ji remiasi į daug mat. šalių. Dėl to susvyravo matematikos pagrindai trečią kartą. Manyta, kad paradokso priežastis slypi logikoje. Įkurta visapusiška logikos pagrindų analizė. Logika nagrinėja žmogaus mąstymo formą. Ji vystėsi kaip f-jos mokslo šaka. Susiformavo IVa.pr.Kr. Ją sukūrė Aristotelis. Logikos mokslas laikui bėgant nesivystė. Tai įrodo graiko genialumą, todėl logika vadinama sustingusiu mokslu. Dėl to į ją žiūrėta skeptiškai. Tik XVIIa. Leibnicas sukūrė logiką – skaičiavimo meną. Joje kiekvienai sąvokai būtų priskirtas simbolis, o samprotavimai įgytų skaičiavimo pavidalą, tačiau tai nebuvo suprasta ir pritarta. Idėja nepaplito ir nesivystė. Tik XIXa. vid. G.Boole įgyvendino Leibnico idėją. Jis sukūrė logikos algebrą, kurioje veikiantys dėsniai yra panašūs į įprastinius algebros dėsnius. Tik čia raidėmis žymimi ne skaičiais, o teiginiai. Bulio algebra – matem. logikos pradininkė. Skirtingai nuo matematinės logikos logika sukurta Aristotelio vad. tradicine formaliąja logika.
Matematinės logikos bruožai: 1) M.L. – logika, taikanti matematinę kalbą ir metodus. 2) M.L. – matematikos mokslo šaka, atsiradusi dėl matematikos poreikių.
XXa. atrastas glaudus M.L. ryšys su kibernetika. Šio ryšio atradimas atvėrė daugybę M.L. taikymų. Ji naudojama medicinoje, lingvistikoje, kompiuterių moksle ir gamyboje. Ji patikslino formaliosios logikos metodus ir išplėtė jos taikymo sritis.

TEIGINIŲ LOGIKA

TEIGINIAI IR LOGINĖS OPERACIJOS
Teiginys – sakinys, kuris arba teisingas arba klaidingas. Jis yra pirminė teiginių logikos sąvoka. Jei jis atitinka tikrovę, tai jis yra teisingas, jei ne – klaidingas. Visi teiginiai skirstomi į teisingus ir klaidingus. Ne kiekvienas sakinys yra teiginys. Klausiamieji ir šaukiamieji sakiniai – ne teiginiai. Jais negali būti ir sakiniai, kurie neturi vieningos nuomonės. Sakinys a2=4 irgi gali būti teiginiu, jei a turėtų kokią nors reikšmę. Sakinys, turintis nors vieną kintamąjį, įstačius vietoj jų reikšmes, tampantis teiginiu vadinamas teiginio forma. Iš teiginio fomų teiginius gauname ne tik įstatant vietoj kintamojo reikšmes. Galima panaudoti spec. žodžius: kiekvienas, bet kuris, egzistuoja, nors vienas. Sakiniai gali būti elementarūs ir sudėtiniai. Iš elementarių sudaromi sudėtiniai sakiniai vartojant jungtukus ir, o, bet, kad.

Gramatikoje sakiniai – paprasti ir sudėtiniai. Paprastas sakinys gramatinė struktūra gali būti sudėtinis logikos požiūriu
PVZ: 2 tiesės lygiagrečios arba kertasi.
Ar sudėtinis sakinys tampa teiginiu, jei jį sudarantys sakiniai yra teiginiai?
PVZ: skaičius 2 pirminis arba lyginis. Tai 2 teisingi teiginiai. Tačiau teisingumas nustatomas jungtuko arba reikšmę išsiaiškinus. Jei jis vartojamas alternatyvų išjungiamąja prasme, tai sakinys klaidingas. Tačiau, jei gali galioti abi alternatyvos, tai sakinys teisingas.
Matematinėje logikoje kad jungtukai turėtų tą pačią prasmę, reikšmę apibrėžiama iš anksto ir vienareikšmiškai. Todėl bet koks sakinys, sudarytas iš teiginių, sujungtų jungtukais, yra taip pat teiginys.
Neigimas
Jį atitinka jungtuką “ne”. Galima vartoti ir posakį “netiesa, kad …”
Sakinys, neturintis formokių neigimo požymių, bet turintys tokią pat prasmę kaip neigimo sakinys, bus laikomas sakinio neigimu.

Raktiniai žodžiai

• logika
• matematine logika
• matematinė logika